第0103章 正式开赛
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次日，八点半，国奥赛正式开始。
选手们拿着零食、饮料、参考书、作图工具等，在规定的时间内纷纷走入考场。
嗯，比赛是可以带食物和参考书的，毕竟比赛时间太长了，而这原本就是开卷考试。
除了不能携带电子设备入场，其他的一切都像参加冬令营那样轻松写意。
田立心手上却只拿了作图工具和一瓶水。
走入考场后，田立心发现这教室一共有二十五位考生，每位考生的桌面上都插着一面国旗，这些考生基本都来自不同的国家。
旁边坐的正是有前些天见过的宝岛女生，她也是教室里唯一的女生。
左前方，是一位阿三选手。
右前方，是一位俄国选。
除了旁边的宝岛女生，周围坐的都是来自各大数学竞赛强国的人啊。
不过，宝岛姑娘的桌上虽插着梅花五环旗，本质上，也同属于华夏这个竞赛强国嘛。
时间一到，两位监考老师就将试卷分发了下来。
拿到卷子后，旁边这位女生的脸色就不那么好看了。
试卷是翻译过的，她的卷子上肯定也同为汉字。
看不懂题，是不能用外语太差来背锅的。
对田立心来说，第一道门槛题倒还真是送分题，他只略一思索就有了思路。
这道题的题目是这样的，“对全体满足a，b，c，d，e≥-1，a+b+c+d+e=5的实数，求S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)的最大值和最小值。”
先设a+b=A，b+c=B，c+d=C，d+e=D，e+a=E，S为五个数的乘积。
讨论S的最大值时，ABCDE这五个数必为五个正数或有偶数个负数奇数个正数，这样的情况分为三种，即五个是正数，或一个正数四个负数，或三个正数两个负数。
求S最小的最小值，则ABCED中的负数必为奇数个，其分别为五个负数，或三个负数两个正数，或一个负数四个正数。
有了这个思路之后，解题步骤可以一蹴而就了。
解：令a+b=A，b+c=B，c+d=C，d+e=D，e+a=E，则ABCDE均大于-2，A+B+C+D+E=10。
1，先讨论ABCDE都为正数的情况，由算数几何平均不等式可知，则S≤（（10/5）5=32。
a=b=c=d=e=1时取等。
当ABCDE中有一个正数四个负数时，设A>0，BCDE四个数都小于0。
由B+C<0可知，a≥5，
又因为e≥-1，所以E≥4。
与假设矛盾。
舍去。
当ABCDE为三个正数两个负数时，有相邻两个为负数或间隔出现负数这两种情况。
两个负数相邻时，令A=B=-2。
则C+D+E=(-1＋d)+(d＋e)+(e＋-1)=14
即D=d+e=8，而CE≤(C+E)?/4=(d+e-2)?/4=9当且仅当C=E=3时取等号，此时S=2?×8×9=288.
两个负数间隔出现时，令A，C<0取-2时，a，b，c，d=-1，B=b+c<0
与假设矛盾。
舍去。
综上，S≤288，当a=b=c=-1，d=e=4时取等。
2，当ABCDE都为负数，那么ABCDE<0也成立，与A+B+C+D+E=10矛盾。
舍去。
当ABCDE有三个负数一个正数时，令ABC都为负数，则有A，B，C≥-2。
由此得到D+E≤16，CD的乘积≤64，。
故有S≥64*(-2)(-2)(-2)≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。
当ABCDE有一个负数四个正数时，令A为负数，取为0>A≥-2，
BCDE≤（（10-A）/4）4≤81
那么，S≥81*-2=-162。
综上，S≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。
……
田立心满意地看着稿纸上的答案，随后就抄到了卷子上。
门槛题的7分，已经是妥妥的了。
继续。
第二道是平面几何题，“R和S是圆上非直径端点的两点，作T使得S为RT中点，J为RS劣弧上任意一点，△JST外接圆和R的切线交于一点A，AJ和RS所在圆交于另一点K，求证：KT与△JST外接圆相切。”
田立心在草稿纸上画出图来，很快就有了解题思路。
对华夏的学生来说，平面几何都是送分题！
拿下这两道题，铜牌就已经算是到手了，但这离田立心的最终目标还很远很远。
第三题。
怎么还是几何？
“一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏。已知兔子的起始位置A0与猎人的起始位置B0重合，在游戏进行n-1回合后，兔子位于点An-1，猎人位于点Bn-1。在第n个回合中，以下三件事件依次发生。
（1）兔子移动到点An，使得An-1与An的距离恰好为1。
（2）一个定位设备向猎人反馈一个点Pn，该设备唯一能保证Pn与An之间的距离至多为1。
(3)猎人移动到点Bn，并且满足Bn-1与Bn之间的距离恰好为1。
试问：是否无论兔子如何移动，也无论定位设备反馈了哪些点，猎人总能够适当地选择它的移动方式，使得经过10的9次方轮游戏后，猎人与兔子之间的距离不超过100？”
读完题，田立心凭直觉就知道答案是不可能了。
但做数学题不能只凭直觉啊，写出答案却没写过程的，零分不能再多了。
这题好像很难啊！
模拟猎人追击隐形兔子的物理场景，应该是关键性的第一步。
可以假设猎人和兔子在n个回合之后的距离S，必然存在0
由于定位点的对称性，猎人于n步后到达的点Bs+n有可能在直线BsAs的下方，也有可能在BsAs的上方。
这道题，还需要考虑循环节N和最大方向偏差角。
有了解题思路，田立心便开始在稿纸上画图了。
怎么将自己的想法转化成数学语言才是关键。
两个多小时后，田立心终于抬起了头，暗暗舒了口气，可算是把这道题解出来了！
只是，左前方的阿三哥和右前方的俄国选手呢？
都提前走人了？
这两货这么强的吗？
田立心也知道，有些国家虽不能拿到团队冠军，但总还是有一两个天才选手的。
算你们厉害好吧！
田立心将答案誊到卷子上，这才发现，离考试结束还有一个多小时呢。
他仔细检查一遍，便站了起来。
交卷！
邻桌的那位宝岛女孩，此时还正绞尽脑汁地想着怎么破解第二道题呢。
离开考场之后，田立心就在巡逻志愿者的护送下，很快就走出了警戒线之外。
随后，他一眼就看到了站在不远处的，正翘首以待的齐教授和副教练。
他们身边，已经有一位队员了。
选手们拿着零食、饮料、参考书、作图工具等，在规定的时间内纷纷走入考场。
嗯，比赛是可以带食物和参考书的，毕竟比赛时间太长了，而这原本就是开卷考试。
除了不能携带电子设备入场，其他的一切都像参加冬令营那样轻松写意。
田立心手上却只拿了作图工具和一瓶水。
走入考场后，田立心发现这教室一共有二十五位考生，每位考生的桌面上都插着一面国旗，这些考生基本都来自不同的国家。
旁边坐的正是有前些天见过的宝岛女生，她也是教室里唯一的女生。
左前方，是一位阿三选手。
右前方，是一位俄国选。
除了旁边的宝岛女生，周围坐的都是来自各大数学竞赛强国的人啊。
不过，宝岛姑娘的桌上虽插着梅花五环旗，本质上，也同属于华夏这个竞赛强国嘛。
时间一到，两位监考老师就将试卷分发了下来。
拿到卷子后，旁边这位女生的脸色就不那么好看了。
试卷是翻译过的，她的卷子上肯定也同为汉字。
看不懂题，是不能用外语太差来背锅的。
对田立心来说，第一道门槛题倒还真是送分题，他只略一思索就有了思路。
这道题的题目是这样的，“对全体满足a，b，c，d，e≥-1，a+b+c+d+e=5的实数，求S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)的最大值和最小值。”
先设a+b=A，b+c=B，c+d=C，d+e=D，e+a=E，S为五个数的乘积。
讨论S的最大值时，ABCDE这五个数必为五个正数或有偶数个负数奇数个正数，这样的情况分为三种，即五个是正数，或一个正数四个负数，或三个正数两个负数。
求S最小的最小值，则ABCED中的负数必为奇数个，其分别为五个负数，或三个负数两个正数，或一个负数四个正数。
有了这个思路之后，解题步骤可以一蹴而就了。
解：令a+b=A，b+c=B，c+d=C，d+e=D，e+a=E，则ABCDE均大于-2，A+B+C+D+E=10。
1，先讨论ABCDE都为正数的情况，由算数几何平均不等式可知，则S≤（（10/5）5=32。
a=b=c=d=e=1时取等。
当ABCDE中有一个正数四个负数时，设A>0，BCDE四个数都小于0。
由B+C<0可知，a≥5，
又因为e≥-1，所以E≥4。
与假设矛盾。
舍去。
当ABCDE为三个正数两个负数时，有相邻两个为负数或间隔出现负数这两种情况。
两个负数相邻时，令A=B=-2。
则C+D+E=(-1＋d)+(d＋e)+(e＋-1)=14
即D=d+e=8，而CE≤(C+E)?/4=(d+e-2)?/4=9当且仅当C=E=3时取等号，此时S=2?×8×9=288.
两个负数间隔出现时，令A，C<0取-2时，a，b，c，d=-1，B=b+c<0
与假设矛盾。
舍去。
综上，S≤288，当a=b=c=-1，d=e=4时取等。
2，当ABCDE都为负数，那么ABCDE<0也成立，与A+B+C+D+E=10矛盾。
舍去。
当ABCDE有三个负数一个正数时，令ABC都为负数，则有A，B，C≥-2。
由此得到D+E≤16，CD的乘积≤64，。
故有S≥64*(-2)(-2)(-2)≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。
当ABCDE有一个负数四个正数时，令A为负数，取为0>A≥-2，
BCDE≤（（10-A）/4）4≤81
那么，S≥81*-2=-162。
综上，S≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。
……
田立心满意地看着稿纸上的答案，随后就抄到了卷子上。
门槛题的7分，已经是妥妥的了。
继续。
第二道是平面几何题，“R和S是圆上非直径端点的两点，作T使得S为RT中点，J为RS劣弧上任意一点，△JST外接圆和R的切线交于一点A，AJ和RS所在圆交于另一点K，求证：KT与△JST外接圆相切。”
田立心在草稿纸上画出图来，很快就有了解题思路。
对华夏的学生来说，平面几何都是送分题！
拿下这两道题，铜牌就已经算是到手了，但这离田立心的最终目标还很远很远。
第三题。
怎么还是几何？
“一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏。已知兔子的起始位置A0与猎人的起始位置B0重合，在游戏进行n-1回合后，兔子位于点An-1，猎人位于点Bn-1。在第n个回合中，以下三件事件依次发生。
（1）兔子移动到点An，使得An-1与An的距离恰好为1。
（2）一个定位设备向猎人反馈一个点Pn，该设备唯一能保证Pn与An之间的距离至多为1。
(3)猎人移动到点Bn，并且满足Bn-1与Bn之间的距离恰好为1。
试问：是否无论兔子如何移动，也无论定位设备反馈了哪些点，猎人总能够适当地选择它的移动方式，使得经过10的9次方轮游戏后，猎人与兔子之间的距离不超过100？”
读完题，田立心凭直觉就知道答案是不可能了。
但做数学题不能只凭直觉啊，写出答案却没写过程的，零分不能再多了。
这题好像很难啊！
模拟猎人追击隐形兔子的物理场景，应该是关键性的第一步。
可以假设猎人和兔子在n个回合之后的距离S，必然存在0
由于定位点的对称性，猎人于n步后到达的点Bs+n有可能在直线BsAs的下方，也有可能在BsAs的上方。
这道题，还需要考虑循环节N和最大方向偏差角。
有了解题思路，田立心便开始在稿纸上画图了。
怎么将自己的想法转化成数学语言才是关键。
两个多小时后，田立心终于抬起了头，暗暗舒了口气，可算是把这道题解出来了！
只是，左前方的阿三哥和右前方的俄国选手呢？
都提前走人了？
这两货这么强的吗？
田立心也知道，有些国家虽不能拿到团队冠军，但总还是有一两个天才选手的。
算你们厉害好吧！
田立心将答案誊到卷子上，这才发现，离考试结束还有一个多小时呢。
他仔细检查一遍，便站了起来。
交卷！
邻桌的那位宝岛女孩，此时还正绞尽脑汁地想着怎么破解第二道题呢。
离开考场之后，田立心就在巡逻志愿者的护送下，很快就走出了警戒线之外。
随后，他一眼就看到了站在不远处的，正翘首以待的齐教授和副教练。
他们身边，已经有一位队员了。
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