第十一章 BSD猜想
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坎特正色道：“庞先生，您提出的这个方案，我一定请萨伊女士慎重考虑，但能否实施，还得经过联合国安理会的讨论。”
他们这几人，都是少数知道三体文明将要入侵地球的人类精英，也看过三体文明的资料，在地球基础科学已经被智子锁死的情况下，他们对于人类文明能否在四百年后与三体人的战争中幸存下来几乎不抱任何希望。
但庞学林提出的这个方案，却是迄今为止第一次让他们感觉到一丝希望的反击计划，同时对于这个计划的提出者庞学林，也生出一丝敬畏之心。
庞学林微笑道：“那就有劳坎特先生了。”
接下来，众人又聊了一会儿降临派的话题。
庞学林从史强口中，得到了他和弗瑞德、格兰特三人为什么会这么快就被找到的原因。
原来“审判日”号在进入向风海峡前，就已经被美军的弗吉尼亚级核潜艇盯上了。
当天晚上他们搭乘救生艇从审判日号上出来，也一直在核潜艇的监控之中。
只是后来他们从古巴登陆，然后进入圣地亚哥躲藏，才算失去了他们的踪迹。
虽然几天后的“古筝行动”取得成功，但在“审判日”号内并没有发现三体文明的相关资料，而太子港下船的那些降临派，几乎同样被一网打尽的情况下，也没找到三体文明的信息。
他们三人的行踪这才被重视起来，在古巴政府的积极配合下，很快就定位到了三人躲藏的民宿。
随后，美军出动部署在关塔那摩的“三角洲”部队，准备悄无声息地将三人一网打尽，却没想到三人发生了内讧，唯有庞学林存活。
而且在民宿的阁楼内，“三角洲”部队还发现了已经被烧毁的储存有三体文明资料的硬盘。
原本人类一方都已经认定针对“审判日”号的行动失败，降临派已经彻底销毁了三体文明的相关资料。
谁也没有想到，第二天事情峰回路转，在联合国以及安理会五大常任理事国的公共邮箱中，收到了存有三体文明所有资料的邮件，而发件人，正是被弗瑞德用枪击伤的庞学林。
因此，庞学林也得到了联合国的重视，在他还处于昏迷的时候，便通过专机来到了纽约大学医学中心。
史强说的这些信息和庞学林猜测的出入不大，又聊了大约半小时，三人这才告辞离去。
庞学林也松了口气，虽然这次受伤不轻，但还是达到了自己想要的结果。
有了联合国的庇护，接下来自己就可以安安心心在三体世界搞研究了。
现在是三体世界的2007年，距离面壁计划真正开始实施，还有两年时间，足够自己浪。
他闭上眼睛，调出系统，开始研究系统给出的BSD猜想的证明全文。
……
BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。
自上世纪五十年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。
例如，怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之间的关系（谷山-志村猜想）。
BSD猜想就是与椭圆曲线有关。
上世纪六十年代，英国剑桥大学的贝赫与斯维纳通-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解时发现，这种方程通常会有无穷多解。
然而要如何给出无穷多解呢？
其解法是先分类，典型的数学方法是同余并藉此得同余类，即被一个数除之后的余数。
但是无穷多个数不可能每个都是需要的，数学家们便选择了质数，所以从某种程度上说，这个问题还与黎曼猜想Zeta函数有关。
经过长时间大量的计算与资料收集，贝赫和斯维纳通-戴尔观察出一些规律与模式，因而提出BSD猜想：设E是定义在代数数域K上的椭圆曲线，E(K)是E上的有理点的集合，已经知道E(K)是有限生成交换群。记L(s，E)是E的Hasse-WeilL函数。则E(K)的秩恰好等于L(E，s)在s=1处零点的阶，并且后者的Taylor展开的第一个非零系数可以由曲线的代数性质精确表出。
前半部分通常称为弱BSD猜想，后半部分则是BSD猜想分圆域的类数公式的推广。
目前，数学家们仅仅证明了rank=0和1的弱BSD猜想成立，对于Rank≥2部分的强BSD猜想，依旧无能为力。
此前庞学林也是沿着格罗斯、科茨走的那条路线，尝试在rank=0和1的基础上，推出rank≥2的BSD猜想，却发现渐渐走进了死胡同。
最近半年内，他始终没有任何进展。
因此，他非常好奇，系统给出的证明过程，到底采用了什么思路。
庞学林打开BSD猜想证明论文，看了起来。
BSD猜想的证明一共有六十多页，对对一个千禧难题级别的猜想而言，显得过于精简了一些。
不过这并不重要，当年佩雷尔曼证明庞加莱猜想的时候，才用了三十多页，因为过程太过简略，好多人都看不懂，在数学界的强烈要求下，佩雷尔曼勉强又补充了两篇文章，之后便再也不肯多给了。
但这并不妨碍佩雷尔曼的伟大。
因此，论文的长短并不重要，关键要看论文的质量。
庞学林并没有从开头开始细读，而是先粗略浏览。
粗略浏览，有助于他从整体上了解BSD猜想的证明思路。
不过很快，庞学林的眉头便皱了起来。
论文的开头，便给出了一个与当前数学界截然不同的思路。
论文的第一部分，写得是关于同余数问题的证明，即存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。
然后，推导出BSD对这样的E_D成立：D是某个8k+5型素数和若干8k+1型素数的乘积，只要\BbbQ(\sqrt{-D})的类群的4倍映射是单的。
这就有意思了。
虽然当前数学界，已经有人尝试通过同余数问题去证明BSD猜想。
但这条路难度太大，还处于萌发状态，目前国际数学界并没有出现太多的成果。
这篇论文的出现，说明当前流行的BSD猜想证明方法，最终都会走向死胡同。
通过同余数问题证明BSD猜想，才是正确的思路。
庞学林凝神屏气，继续看下去。
……
给定素数p，(1)p\equiv3(\mod：p不是同余数但2p是同余数；(2)p\equiv5(\mod：p是同余数；(3)p\equiv7(\mod：p和2p都是同余数。
(弱BSD猜想)BSD猜想对E_D成立。特别的，r_D>0当且仅当L(1，E_D)=0。
假定弱BSD猜想成立，则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数；(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；(3)可以证明D\equiv5，6，7(\mod时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。
……
根据Heegner点的高度理论——著名的Gross-Zagier公式可以将其与L‘(1，E)联系起来。
而基于Eichler，Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，可以将L(s，E)解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。
……
这一看，便不知时间流逝。
也不知过了多久，庞学林总算将整篇论文粗略看完，长长舒了口气。
虽然对于这篇论文，还有很多细节，很多问题需要解决，但是在整体证明思路上，庞学林却感觉没什么问题。
而且对整个BSD猜想的证明，庞学林也有种豁然开朗的感觉。
有了正确的思路，即使没有这篇论文，他也能将BSD猜想的证明过程完全推导出来。
庞学林这才睁开眼，一扭头，便发现不知不觉天已经黑了，之前见过的那名金发碧眼的小护士正在他身旁忙碌。
看到庞学林睁开眼，她不由得面露喜色，说道：“天哪，庞，你终于醒了！”
庞学林微微一愣，目光在护士MM的身份牌上扫过，疑惑道：“奥莉薇娅，我……我这是睡了多久啊？”
奥莉薇娅道：“你都睡了三天三夜了，医生还担心你出了什么问题，这两天又是给你做颅脑CT，又是各种抽血化验，结果显示你的身体健健康康，只是睡着了，谁也说不明白你为什么会睡这么久。”
庞学林不由得吃了一惊，这种爆肝研究，他在现实世界虽然也干过，但大多都因为需要睡眠、补充食物给打断了。
没想到这次躺在病床上，自己竟然整整研究了三天三夜，而且醒来后，他并没有那种爆肝的疲惫感，反而有种说不上来的神清气爽。
难道说，闭上眼睛进入系统后，即使自己是在里面做研究，也只是相当于进入了深度睡眠？
假如真是这样，那么借助系统，自己的研究效率说不定还能得到提高。
庞学林的眼睛不由得亮了起来。
一直以来，庞学林并不觉得自己是天才，相比于历史上那些大名鼎鼎的人物，他在学术界取得的成就微不足道。
但庞学林也有自己的追求。
他希望有一天，自己能真正凭借自己的力量解决千禧级别的难题，希望有一天，自己的名字能和历史上那些闪闪发光的数学家相提并论。
因此，他需要不断地提升自己的学习和研究效率。
或许在旁人眼中，庞学林已经是天才级别了，但庞学林自己却并不这么认为。
世界上那些所谓的天才学霸，之所以能够达到封神的高度，并非他天生就比别人聪明，只是因为他有着良好的学习习惯和高效的学习效率。
别的不说，庞学林自己之所以能取得如今的成就，是因为十年如一日，每天超过十小时以上的高强度学习。
即使这样，他在国际数学界，也仅仅只是刚刚展露头角的青年数学家，距离那些顶尖大牛，还有很长一段路要走。
天才是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水，但没有百分之九十九的汗水，哪来那百分之一的灵感！
他们这几人，都是少数知道三体文明将要入侵地球的人类精英，也看过三体文明的资料，在地球基础科学已经被智子锁死的情况下，他们对于人类文明能否在四百年后与三体人的战争中幸存下来几乎不抱任何希望。
但庞学林提出的这个方案，却是迄今为止第一次让他们感觉到一丝希望的反击计划，同时对于这个计划的提出者庞学林，也生出一丝敬畏之心。
庞学林微笑道：“那就有劳坎特先生了。”
接下来，众人又聊了一会儿降临派的话题。
庞学林从史强口中，得到了他和弗瑞德、格兰特三人为什么会这么快就被找到的原因。
原来“审判日”号在进入向风海峡前，就已经被美军的弗吉尼亚级核潜艇盯上了。
当天晚上他们搭乘救生艇从审判日号上出来，也一直在核潜艇的监控之中。
只是后来他们从古巴登陆，然后进入圣地亚哥躲藏，才算失去了他们的踪迹。
虽然几天后的“古筝行动”取得成功，但在“审判日”号内并没有发现三体文明的相关资料，而太子港下船的那些降临派，几乎同样被一网打尽的情况下，也没找到三体文明的信息。
他们三人的行踪这才被重视起来，在古巴政府的积极配合下，很快就定位到了三人躲藏的民宿。
随后，美军出动部署在关塔那摩的“三角洲”部队，准备悄无声息地将三人一网打尽，却没想到三人发生了内讧，唯有庞学林存活。
而且在民宿的阁楼内，“三角洲”部队还发现了已经被烧毁的储存有三体文明资料的硬盘。
原本人类一方都已经认定针对“审判日”号的行动失败，降临派已经彻底销毁了三体文明的相关资料。
谁也没有想到，第二天事情峰回路转，在联合国以及安理会五大常任理事国的公共邮箱中，收到了存有三体文明所有资料的邮件，而发件人，正是被弗瑞德用枪击伤的庞学林。
因此，庞学林也得到了联合国的重视，在他还处于昏迷的时候，便通过专机来到了纽约大学医学中心。
史强说的这些信息和庞学林猜测的出入不大，又聊了大约半小时，三人这才告辞离去。
庞学林也松了口气，虽然这次受伤不轻，但还是达到了自己想要的结果。
有了联合国的庇护，接下来自己就可以安安心心在三体世界搞研究了。
现在是三体世界的2007年，距离面壁计划真正开始实施，还有两年时间，足够自己浪。
他闭上眼睛，调出系统，开始研究系统给出的BSD猜想的证明全文。
……
BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想。
自上世纪五十年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。
例如，怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之间的关系（谷山-志村猜想）。
BSD猜想就是与椭圆曲线有关。
上世纪六十年代，英国剑桥大学的贝赫与斯维纳通-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解时发现，这种方程通常会有无穷多解。
然而要如何给出无穷多解呢？
其解法是先分类，典型的数学方法是同余并藉此得同余类，即被一个数除之后的余数。
但是无穷多个数不可能每个都是需要的，数学家们便选择了质数，所以从某种程度上说，这个问题还与黎曼猜想Zeta函数有关。
经过长时间大量的计算与资料收集，贝赫和斯维纳通-戴尔观察出一些规律与模式，因而提出BSD猜想：设E是定义在代数数域K上的椭圆曲线，E(K)是E上的有理点的集合，已经知道E(K)是有限生成交换群。记L(s，E)是E的Hasse-WeilL函数。则E(K)的秩恰好等于L(E，s)在s=1处零点的阶，并且后者的Taylor展开的第一个非零系数可以由曲线的代数性质精确表出。
前半部分通常称为弱BSD猜想，后半部分则是BSD猜想分圆域的类数公式的推广。
目前，数学家们仅仅证明了rank=0和1的弱BSD猜想成立，对于Rank≥2部分的强BSD猜想，依旧无能为力。
此前庞学林也是沿着格罗斯、科茨走的那条路线，尝试在rank=0和1的基础上，推出rank≥2的BSD猜想，却发现渐渐走进了死胡同。
最近半年内，他始终没有任何进展。
因此，他非常好奇，系统给出的证明过程，到底采用了什么思路。
庞学林打开BSD猜想证明论文，看了起来。
BSD猜想的证明一共有六十多页，对对一个千禧难题级别的猜想而言，显得过于精简了一些。
不过这并不重要，当年佩雷尔曼证明庞加莱猜想的时候，才用了三十多页，因为过程太过简略，好多人都看不懂，在数学界的强烈要求下，佩雷尔曼勉强又补充了两篇文章，之后便再也不肯多给了。
但这并不妨碍佩雷尔曼的伟大。
因此，论文的长短并不重要，关键要看论文的质量。
庞学林并没有从开头开始细读，而是先粗略浏览。
粗略浏览，有助于他从整体上了解BSD猜想的证明思路。
不过很快，庞学林的眉头便皱了起来。
论文的开头，便给出了一个与当前数学界截然不同的思路。
论文的第一部分，写得是关于同余数问题的证明，即存在无穷多个素因子个数为任何指定正整数的同余数。
然后，推导出BSD对这样的E_D成立：D是某个8k+5型素数和若干8k+1型素数的乘积，只要\BbbQ(\sqrt{-D})的类群的4倍映射是单的。
这就有意思了。
虽然当前数学界，已经有人尝试通过同余数问题去证明BSD猜想。
但这条路难度太大，还处于萌发状态，目前国际数学界并没有出现太多的成果。
这篇论文的出现，说明当前流行的BSD猜想证明方法，最终都会走向死胡同。
通过同余数问题证明BSD猜想，才是正确的思路。
庞学林凝神屏气，继续看下去。
……
给定素数p，(1)p\equiv3(\mod：p不是同余数但2p是同余数；(2)p\equiv5(\mod：p是同余数；(3)p\equiv7(\mod：p和2p都是同余数。
(弱BSD猜想)BSD猜想对E_D成立。特别的，r_D>0当且仅当L(1，E_D)=0。
假定弱BSD猜想成立，则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数；(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；(3)可以证明D\equiv5，6，7(\mod时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。
……
根据Heegner点的高度理论——著名的Gross-Zagier公式可以将其与L‘(1，E)联系起来。
而基于Eichler，Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，可以将L(s，E)解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。
……
这一看，便不知时间流逝。
也不知过了多久，庞学林总算将整篇论文粗略看完，长长舒了口气。
虽然对于这篇论文，还有很多细节，很多问题需要解决，但是在整体证明思路上，庞学林却感觉没什么问题。
而且对整个BSD猜想的证明，庞学林也有种豁然开朗的感觉。
有了正确的思路，即使没有这篇论文，他也能将BSD猜想的证明过程完全推导出来。
庞学林这才睁开眼，一扭头，便发现不知不觉天已经黑了，之前见过的那名金发碧眼的小护士正在他身旁忙碌。
看到庞学林睁开眼，她不由得面露喜色，说道：“天哪，庞，你终于醒了！”
庞学林微微一愣，目光在护士MM的身份牌上扫过，疑惑道：“奥莉薇娅，我……我这是睡了多久啊？”
奥莉薇娅道：“你都睡了三天三夜了，医生还担心你出了什么问题，这两天又是给你做颅脑CT，又是各种抽血化验，结果显示你的身体健健康康，只是睡着了，谁也说不明白你为什么会睡这么久。”
庞学林不由得吃了一惊，这种爆肝研究，他在现实世界虽然也干过，但大多都因为需要睡眠、补充食物给打断了。
没想到这次躺在病床上，自己竟然整整研究了三天三夜，而且醒来后，他并没有那种爆肝的疲惫感，反而有种说不上来的神清气爽。
难道说，闭上眼睛进入系统后，即使自己是在里面做研究，也只是相当于进入了深度睡眠？
假如真是这样，那么借助系统，自己的研究效率说不定还能得到提高。
庞学林的眼睛不由得亮了起来。
一直以来，庞学林并不觉得自己是天才，相比于历史上那些大名鼎鼎的人物，他在学术界取得的成就微不足道。
但庞学林也有自己的追求。
他希望有一天，自己能真正凭借自己的力量解决千禧级别的难题，希望有一天，自己的名字能和历史上那些闪闪发光的数学家相提并论。
因此，他需要不断地提升自己的学习和研究效率。
或许在旁人眼中，庞学林已经是天才级别了，但庞学林自己却并不这么认为。
世界上那些所谓的天才学霸，之所以能够达到封神的高度，并非他天生就比别人聪明，只是因为他有着良好的学习习惯和高效的学习效率。
别的不说，庞学林自己之所以能取得如今的成就，是因为十年如一日，每天超过十小时以上的高强度学习。
即使这样，他在国际数学界，也仅仅只是刚刚展露头角的青年数学家，距离那些顶尖大牛，还有很长一段路要走。
天才是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水，但没有百分之九十九的汗水，哪来那百分之一的灵感！
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